수학 문제 입니다. (고2 수학2) 이 문제에서 x=t에서 연속이니까 t+k=t3-5t2+8t로 두고, y=k와 t에 관한 삼차식으로

이 문제에서 x=t에서 연속이니까 t+k=t3-5t2+8t로 두고, y=k와 t에 관한 삼차식으로 풀어도 되나요? 

우선 연속 조건으로부터 말씀하신대로 t + k = t³ - 5t² + 8t가 성립합니다. 여기에 함수 f에 대해 극댓값, 극솟값이 모두 존재한다는 조건을 활용하려면 f'(x)를 갖고 따질 필요가 있습니다.

​

우선 함수 f의 함수식으로부터 f'의 함수식은 다음과 같습니다.

위 식으로부터 3x² - 10x + 8 = (3x - 4)(x - 2) = 0의 근이 x = 4/3 또는 x = 2임을 알 수 있는데 함수 f가 극대, 극소를 모두 가져야 하므로 다음 부등식이 성립해야 합니다.

​

t < 2

​

나머지는 위 조건 아래에서 k = t³ - 5t² + 7t의 최댓값을 찾는 것입니다.

​

dk/dt

= 3t² - 10t + 7

= (3t - 7)(t - 1)

​

따라서 t = 1일 때의 k의 값이 k의 최댓값임을 알 수 있습니다.

​

∴ α = 3

​

그리고 위 결과로부터 g(x)는 다음과 같습니다.

따라서 g(α) = 3³ - 5·3² + 8·3 = 27 - 45 + 24 = 6입니다.